Millised on sarnased hulknurgad?

Lahenda ülesandeid ja tuleta koos matemaatikaõpetaja Silvia Pajusega meelde, mis on sarnane hulknurk.

Võta harilik pliiats ja joonlaud ning joonesta üks ristkülik vabalt valitud suurusega. Joonesta teine ristkülik, mis on esimesest kaks korda väiksem. Kontrolli, kas väiksema ristküliku kõik küljed on kaks korda väiksemad suurema ristküliku külgedest. Kui nii, siis oled joonestanud sarnased hulknurgad! 

Põhikooli lõpetaja:

• kontrollib antud lõikude võrdelisust; 
• teab kolmnurkade sarnasuse tunnuseid ja kasutab neid ülesandeid lahendades;
• teab teoreeme sarnaste hulknurkade ümbermõõtude ja pindalade kohta ning kasutab neid ülesandeid lahendades;
• selgitab mõõtkava tähendust.

Kui vaatled enda joonestatud ristkülikuid, siis tundub nagu oleks väiksem ristkülik suurema ristküliku koopia. Justkui oleks pilti suurendatud või vähendatud. Hulknurkade sarnasusega seotud seaduspärasusi kasutatakse seal, kus on vaja luua samade proportsioonidega kujutist suuremana või väiksemana, näiteks fotode suurendamisel ja vähendamisel või plaanide ja kaartide joonestamisel. 

Enne hulknurkade sarnasuse definitsioonini jõudmist peab sul olema selge, mida tähendavad vastavad nurgad ja küljed ning külgede võrdelisus. Kui vaatluse all on kaks kolmnurka, siis vastavad nurgad on näiteks mõlema kolmnurga suurimad nurgad ja vastavad küljed on näiteks mõlema kolmnurga lühimad küljed. Vastavad küljed on võrdelised, kui vastavate külgede jagatised on võrdsed. 

Hulknurgad on sarnased, kui nende vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed võrdelised.

Hulknurgad on sarnased, kui nende vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed võrdelised. Foto: Silvia Pajus

Sarnaste hulknurkade korral on suurema hulknurga küljed mingi arv korda suuremad väiksema hulknurga vastavatest külgedest. Seda arvu, mis näitab, mitu korda on ühe hulknurga küljed suuremad või väiksemad temaga sarnase hulknurga vastavatest külgedest, nimetatakse sarnasusteguriks (tähis k).

Sarnasustegur on sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis.

Sarnaste hulknurkade ümbermõõtude jagatis on samuti võrdne sarnasusteguriga. See tähendab seda, et kui sarnaste hulknurkade vastavate külgede jagatis on 3, siis on ka nende samade hulknurkade ümbermõõtude jagatis 3.

Sarnaste huknurkade ümbermõõdu ja pindala arvutamine Foto: Silvia Pajus

Sarnaste hulknurkade pindalade jagatis võrdub sarnasusteguri ruuduga, sest pindala arvutamiseks korrutatakse hulknurga kaks mõõdet ning kui need mõlemad on sarnasusteguri korda suuremad või väiksemad, siis pindala muutus on võrdne sarnasusteguri ruuduga. Näiteks, kui sarnaste hulknurkade vastavate külgede jagatis on 3, siis nende hulknurkade pindalade jagatis on 9.

Sarnasustegur võib lisaks murrulisele kujule olla esitatud ka jagamismärgiga. Sellist esitusviisi kasutatakse mõõtkava kirjeldamisel. Otsi välja mõne kaardi või plaani mõõtkava, näiteks võib see olla kirjutatud kujul 1:100. See tähendab, et plaanil olevad pikkused on 100 korda väiksemad tegelikkuses olevatest pikkusest. Näiteks, kui plaanil mõõtkavaga 1:10000 on tee pikkus 2 cm, siis tegelikkuses on see 10000 korda suurem ehk 20000 cm ehk 200 meetrit.

Sarnaste hulknurkade teema õppimisel saad harjutada loogiliste seoste nägemist varem õpitud kujundite vahel ja lahendada palju reaalses elus ettetulevaid probleeme. Proovi lahendada ka ülesandeid!

Ülesanded

1. Võrdhaarse trapesti alused on 20 cm ja 32 cm ning haarad 6 cm. Arvuta, mitme cm võrra tuleb trapetsi haarasid pikendada, et need lõikuksid! 

2. Selgita, kas kolmnurgad ABC ja KLM on sarnased, kui ∠B = ∠L ja AB = 8 dm, BC = 6 dm, KL = 20 dm ja ML = 1,5 m. 

3. Ristkülikukujulisele maatükile mõõtmetega 80 x 50 meetrit ehitatakse ristkülikukujulise põrandapinnaga maja mõõtmetega 6 x 10 meetrit. Maja asub maatüki ühest pikemast küljest 20 meetri kaugusel ja selle lähisküljest 30 meetri kaugusel. Maja pikimad küljed on paralleelsed maatüki pikimate külgedega. Tee maja asukohast maatükil plaan mõõtkavas 1:1000.